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陶哲軒與GPT-5 Pro這對(duì)搭檔再大發(fā)神威，解決了一個(gè)3年無(wú)人解決的難題。
而且是“不太在自己專業(yè)范圍內(nèi)”的問(wèn)題：微分幾何領(lǐng)域的開放問(wèn)題。
要知道，陶哲軒擅長(zhǎng)的分析、數(shù)論、組合學(xué)等研究的往往是整數(shù)、函數(shù)、算子的性質(zhì)。而微分幾何更側(cè)重于流形的性質(zhì)，常用的工具也很不一樣。
陶哲軒只是按自己直覺給了一個(gè)大致方向，GPT-5 Pro就從復(fù)雜計(jì)算到嚴(yán)謹(jǐn)證明一氣呵成，幫助陶哲軒捕捉關(guān)鍵邏輯，突破傳統(tǒng)思維局限。
甚至在AI幫助下最終發(fā)現(xiàn)自己的直覺有誤，但通過(guò)這個(gè)過(guò)程更好理解了問(wèn)題。
有了這次跨界解題的經(jīng)驗(yàn)，陶哲軒對(duì)AI在學(xué)術(shù)研究上的作用也有了新的思考，他總結(jié)到：
AI在小尺度上很有用，中尺度上有些無(wú)益，大尺度上又有幫助。
AI從計(jì)算到證明一氣呵成
先來(lái)看看原始問(wèn)題，是3年前就在mathoverflow上提出的：
設(shè)一個(gè)三維空間中的光滑拓?fù)淝蛎鎳傻膮^(qū)域，且曲面的主曲率絕對(duì)值不超過(guò)1，那么它包圍的體積是否至少等于單位球的體積？
陶哲軒最初的思路是將問(wèn)題限制在星形區(qū)域上，借助積分不等式推進(jìn)。但他的微分幾何有些生疏，所以請(qǐng)AI幫他進(jìn)行這些計(jì)算。
結(jié)果GPT-5 Pro思考了11分18秒，不僅完成了所有計(jì)算，還直接給出了星形情況下問(wèn)題的完整證明。
證明過(guò)程運(yùn)用了各種不等式和恒等式，其中有些陶哲軒熟悉（比如Stokes定理和Willmore不等式），也有一個(gè)他也第一次接觸的Minkowski第一積分公式。
有了這些不等式，加上算術(shù)-幾何平均不等式，星形情況的證明實(shí)際上就是一行論證。
到目前為止，一切順利。
接下來(lái)他需要驗(yàn)證證明的各個(gè)步驟，但網(wǎng)絡(luò)上沒(méi)有找到有用的資源。
再次詢問(wèn)AI后，直接得到兩個(gè)令他滿意的證明：一個(gè)是按照他建議使用散度定理的路線，另一個(gè)是基于他沒(méi)想到的流方法。
通過(guò)AI的計(jì)算和證明，陶哲軒打算將其視為一個(gè)擾動(dòng)橢圓偏微分方程問(wèn)題，AI在這個(gè)思路上表現(xiàn)也良好。
雖然在估計(jì)一個(gè)擾動(dòng)非線性項(xiàng)時(shí)出現(xiàn)了輕微的錯(cuò)誤，但并非無(wú)法修復(fù)。而且AI還主動(dòng)指出一個(gè)特殊情況其實(shí)又能回到星形的結(jié)果。
成功地用偏微分方程擾動(dòng)理論的方法，解決了當(dāng)曲面形狀與單位球面差距不大（Small Data）時(shí)的情形。
但真正困難且未解決的，是當(dāng)曲面形狀與球面差距巨大（Large Data）時(shí)的問(wèn)題。
陶哲軒意識(shí)到可以用將問(wèn)題簡(jiǎn)化為一個(gè)大型有限計(jì)算，但AI用這個(gè)方法給出的結(jié)果非常混亂且缺乏啟發(fā)性，本質(zhì)上是對(duì)所有可能形狀的窮舉。
最終陶哲軒發(fā)現(xiàn)他設(shè)想的數(shù)值方法或許可以在有限的時(shí)間內(nèi)解決所有給定條件的特殊情況，但無(wú)法處理一般情況，但AI只是按照提問(wèn)照做了。
最后總結(jié)一下：雖然問(wèn)題最終還是沒(méi)有完全解決，但在AI的幫助下陶哲軒對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解深入了很多。
陶哲軒的思考：AI工具的多尺度價(jià)值
雖然解題告一段落，但陶哲軒的思考還在繼續(xù)。
回顧整個(gè)解題過(guò)程，AI在“小尺度”問(wèn)題上表現(xiàn)得很好，只犯了一些小錯(cuò)誤，并貢獻(xiàn)了一些文獻(xiàn)中已有的，但陶哲軒之前并不知道的有用想法。
但是要想進(jìn)一步推進(jìn)這個(gè)問(wèn)題，就需要真正的微分幾何專家的幫助了。
在“中等尺度”的策略上，AI略微顯得無(wú)益，它強(qiáng)化了陶哲軒對(duì)問(wèn)題的錯(cuò)誤直覺，而不是提出質(zhì)疑。
陶哲軒一開始的直覺是錯(cuò)的，AI也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，基本上只是附和同意他說(shuō)的一切。
但是在從獲得對(duì)問(wèn)題理解的“大尺度”指標(biāo)來(lái)看，AI又是有幫助的，盡管主要是間接意義上的：在AI的幫助下能夠更快地研究并最終放棄一種現(xiàn)在認(rèn)為不適合的方法。
陶哲軒將這次經(jīng)歷與他之前的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比。
在之前的實(shí)驗(yàn)中，他給AI一個(gè)他對(duì)結(jié)果有很好直覺的任務(wù)。這種情況下AI更有創(chuàng)造力，提供了他不知道的信息，但引導(dǎo)AI朝著富有成效的方向前進(jìn)也明顯更加困難。
他認(rèn)為，在自己專業(yè)領(lǐng)域之外的問(wèn)題上與AI互動(dòng)似乎確實(shí)有一些價(jià)值，但必須謹(jǐn)慎行事并保持對(duì)情況的認(rèn)知。
這次經(jīng)歷還印證了陶哲軒之前提出的觀點(diǎn)：必須在多個(gè)尺度上衡量一個(gè)工具的有效性。
此前他提出了四個(gè)不同的效率衡量尺度：形式化證明中的任何單行、任何單個(gè)引理、任何定理的完整證明，以及整本教科書。
許多當(dāng)前的自動(dòng)化工具可以在其中一個(gè)尺度上加速形式化，但反直覺的是，過(guò)度依賴這樣的工具可能最終會(huì)降低在其他尺度上形式化的能力。
他認(rèn)為最優(yōu)的自動(dòng)化水平實(shí)際上嚴(yán)格介于0%和100%之間。
在每個(gè)尺度上都有足夠的自動(dòng)化來(lái)減少繁瑣的重復(fù)工作，但在每個(gè)尺度上仍然有足夠的”人在回路中“來(lái)審查和修復(fù)局部問(wèn)題，以便讓人類保持對(duì)所有尺度上任務(wù)結(jié)構(gòu)的感知。
如果過(guò)度地在單一尺度上對(duì)AI進(jìn)行基準(zhǔn)測(cè)試，最終可能會(huì)對(duì)長(zhǎng)期目標(biāo)產(chǎn)生不利影響。
陶哲軒與ChatGPT合作史
而陶哲軒對(duì)AI輔助數(shù)學(xué)工作的可能性探索還要追溯到三年前——ChatGPT剛剛發(fā)布的時(shí)候。
陶哲軒在其誕生伊始就敏銳地察覺到它的作用，并就黎曼假設(shè)進(jìn)行試探性詢問(wèn)，但得出的結(jié)果卻讓他大失所望：
ChatGPT給出了看似合理且相關(guān)的回答，但仔細(xì)檢查后卻沒(méi)有任何實(shí)際的深度內(nèi)容。
此時(shí)的ChatGPT還不能完全理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，只是在將一些低質(zhì)量?jī)?nèi)容進(jìn)行包裝掩蓋，這意味著常規(guī)的表面檢測(cè)方法不再準(zhǔn)確，需要對(duì)核心內(nèi)容進(jìn)行人工篩查，例如逐行地閱讀文本。
所以早期的陶哲軒對(duì)AI工具抱有懷疑審視的態(tài)度，認(rèn)為AI在數(shù)學(xué)中的作用，是為答案提供近似值，然后人類數(shù)學(xué)家再通過(guò)傳統(tǒng)方法進(jìn)行逐步細(xì)化。
轉(zhuǎn)機(jī)出現(xiàn)在GPT-4，陶哲軒嘗試使用GPT-4協(xié)助處理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，即把原始數(shù)據(jù)輸入電子表格，并查找對(duì)應(yīng)函數(shù)、計(jì)算所需內(nèi)容。
短短幾分鐘，GPT-4就完成了人類一天的工作，期間只有非常少的部分需要校驗(yàn)，這也讓陶哲軒開始期待將AI集成到軟件工具中，尤其是處理90%以上的LaTeX編譯問(wèn)題。
我可以明確地說(shuō)，今天是GPT4為我節(jié)省了大量繁瑣工作的第一天。
隨后，他開始使用GPT-4處理一些自己熟悉領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如下面這個(gè)問(wèn)題：證明遞歸式（定義R）能夠推導(dǎo)出a(n+1)。
GPT4從合作者的角度提出了八種不同方法，其中生成函數(shù)法引起了陶哲軒的注意，并隨即沿著該解決路徑，利用人工計(jì)算最終解決了這個(gè)問(wèn)題。而最初陶哲軒想使用的是漸近分析方法，但事實(shí)證明AI可以更快地協(xié)助找到正確方案。
與此同時(shí)，他開始讓ChatGPT編寫Python來(lái)計(jì)算序列長(zhǎng)度，雖然與預(yù)期的目標(biāo)序列存在差異，只考慮到了連續(xù)整數(shù)的子序列而非任意子序列，但已經(jīng)足夠接近，而且其中在計(jì)算totient函數(shù)時(shí)還使用了非常獨(dú)到的方案。
但代碼本身有時(shí)也不夠簡(jiǎn)潔、效率不高，或者邏輯不夠嚴(yán)密，還是需要人工校正與重寫。
他還嘗試使用Copilot書寫數(shù)學(xué)論文，不過(guò)在攥寫證明大綱時(shí)，AI陷入了長(zhǎng)篇敘述有關(guān)隨機(jī)分析數(shù)論的廢話，只有在編寫非常短或重復(fù)的文本上有效。
所以此時(shí)的AI在陶哲軒看來(lái)，AI寫數(shù)學(xué)論文仍然是有趣多過(guò)于有用。
在GPT-o1發(fā)布后，陶哲軒同樣第一時(shí)間測(cè)試了其數(shù)學(xué)能力，顯然相比于前代，GPT-o1的幻覺問(wèn)題得到解決，在形式化任務(wù)中也作用顯著，但在復(fù)雜分析問(wèn)題上仍然令人失望，沒(méi)有產(chǎn)生關(guān)鍵的概念思想。
陶哲軒將這一代模型定義為平庸但并非完全無(wú)能的數(shù)學(xué)“研究生”，而此前的模型則更接近為無(wú)能的“研究生”水平，不過(guò)他也相信再迭代一兩次，加上與其他工具的集成，AI將在研究級(jí)別的任務(wù)中大有所為。
而今年七月份，OpenAI斬獲IMO金牌一事讓AI的數(shù)學(xué)能力再次引起熱議，陶哲軒也對(duì)此做出了長(zhǎng)文回應(yīng)，認(rèn)為缺乏統(tǒng)一的評(píng)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)。
但同時(shí)他也開始讓ChatGPT處理一些更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如在判斷該集合是否是HA的子集時(shí)，陶哲軒通過(guò)理論分析已經(jīng)確定該問(wèn)題的答案是否定的，但仍需要一些數(shù)值參數(shù)來(lái)驗(yàn)證部分不等式。
起初，直接要求AI提供一個(gè)Python代碼的反例，但由于初始參數(shù)問(wèn)題始終失敗，隨后陶哲軒調(diào)整策略轉(zhuǎn)而與AI逐步對(duì)話，使其執(zhí)行啟發(fā)式計(jì)算并找到可行的參數(shù)選擇，通過(guò)單獨(dú)驗(yàn)證生成的參數(shù)，最終解決了該問(wèn)題。
陶哲軒總結(jié)認(rèn)為，在數(shù)值搜索這類任務(wù)上，AI工具顯然可以節(jié)省大量時(shí)間，如果沒(méi)有AI，甚至他可能都不會(huì)考慮這種解決方法，而是尋求理論漸進(jìn)分析。
而對(duì)于如何減少AI在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的幻覺或廢話問(wèn)題，陶哲軒也顯然有了自己的一套心得，那就是在計(jì)算任務(wù)的每一步都做到詳細(xì)解釋，每一次和AI的對(duì)話都先確認(rèn)再執(zhí)行下一步，在對(duì)話結(jié)束后再使用Python進(jìn)行外部驗(yàn)證，得到輸出。
正如他一直所說(shuō)的那樣，AI正在重塑人類科學(xué)范式，其最合理的角色是成為數(shù)學(xué)家的“副駕駛”或助理，而不是取代人類在創(chuàng)造性、直覺性、策略性上的工作。
在AI的協(xié)助下，數(shù)學(xué)將在未來(lái)?yè)碛懈嗟膶?shí)驗(yàn)，而不僅僅是理論。
論文地址：https://mathstodon.xyz/@tao/115351400633010670
參考鏈接：
[1]https://chatgpt.com/share/68e85cba-7228-800e-8804-a0f41aa64e14
[2]https://mathoverflow.net/questions/425509/sphere-with-bounded-curvature
[3]https://terrytao.wordpress.com/mastodon-posts/
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